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Razones trigonométricas

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. El triangulo ABC es un triángulo rectángulo en C, con radio unitario (AB = AD = 1); lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo ${\displaystyle \alpha \,}$, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

${\displaystyle \operatorname {sen} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {CB}}{1}}={\overline {CB}}}$

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa.

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AC}}{1}}={\overline {AC}}}$

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {DE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {DE}}{1}}={\overline {DE}}}$

Otras funciones trigonométricas

Además de las funciones anteriores, existen otras funciones trigonométricas. Matemáticamente se pueden definir empleando las ya vistas. Su uso no es muy corriente, pero sí se emplean, dado su sentido geométrico. Veamos:

El seno cardinal o función sinc (x) definida:

${\displaystyle \operatorname {sinc} \;(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$

El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, también se denomina sagita o flecha, se define:

${\displaystyle \operatorname {versin} \;\alpha =1-\cos \alpha }$

El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en el cálculo esférico:

${\displaystyle \operatorname {semiversin} \;\alpha ={\frac {\operatorname {versin} \;\alpha }{2}}}$

El coverseno,

${\displaystyle \operatorname {coversin} \;\alpha =1-\sin \;\alpha }$

El semicoverseno

${\displaystyle \operatorname {semicoversin} \;\alpha ={\frac {\operatorname {coversin} \;\alpha }{2}}}$

La excecante:

${\displaystyle \operatorname {exsec} \;\alpha =\sec \alpha -1}$

Geometría

Líneas[editar]

Euclides describió una línea como "longitud sin ancho" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma". ¹³​ En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica , una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , ¹⁶​ pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente. , distinto del conjunto de puntos que se encuentran en él. ¹⁷​En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de línea a espacios curvos . ¹⁸​

Planos[editar]

Un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente. ¹³​ Los planos se utilizan en todas las áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos se pueden estudiar como una superficie topológica sin hacer referencia a distancias o ángulos; ¹⁹​ se puede estudiar como un espacio afín , donde se pueden estudiar la colinealidad y las proporciones pero no las distancias; ²⁰​ se puede estudiar como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo ; ²¹​ y así sucesivamente.

Ángulos

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre sí. ​En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos, llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. ​

Ángulos agudos (a), obtusos (b) y rectos (c). Los ángulos agudos y obtusos también se denominan ángulos oblicuos.

En la geometría euclidiana, los ángulos se utilizan para estudiar polígonos y triángulos , además de formar un objeto de estudio por derecho propio. El estudio de los ángulos de un triángulo o de los ángulos en un círculo unitario forma la base de la trigonometría. 

En geometría diferencial y cálculo, los ángulos entre curvas planas o curvas espaciales o superficies se pueden calcular utilizando la derivada 

Curvas

Una curva es un objeto unidimensional que puede ser recto (como una línea) o no; las curvas en el espacio bidimensional se denominan curvas planas y las del espacio tridimensional se denominan curvas espaciales. ​

En topología, una curva se define mediante una función de un intervalo de los números reales a otro espacio. ​ En geometría diferencial, se usa la misma definición, pero se requiere que la función definitoria sea diferenciable.​ La geometría algebraica estudia las curvas algebraicas , que se definen como variedades algebraicas de dimensión uno.

Longitud, área y volumen

Artículo principal: Longitud

Artículo principal: Área

Artículo principal: Volumen

La longitud, el área y el volumen describen el tamaño o la extensión de un objeto en una dimensión, dos dimensiones y tres dimensiones, respectivamente. 

En geometría euclidiana y geometría analítica, la longitud de un segmento de línea a menudo se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras.

El área y el volumen pueden definirse como cantidades fundamentales separadas de la longitud, o pueden describirse y calcularse en términos de longitudes en un plano o espacio tridimensional​ Los matemáticos han encontrado muchas fórmulas explícitas para el área y fórmulas para el volumen de varios objetos geométricos. En cálculo , el área y el volumen se pueden definir en términos de integrales , como la integra de Riemann​o la Integral de Lebesgue.

Métricas y medidas

Comprobación visual del teorema de Pitágoras para el triángulo (3, 4, 5) como en el Zhoubi Suanjing 500-200 AC. El teorema de Pitágoras es una consecuencia de la métrica euclidiana].

El concepto de longitud o distancia se puede generalizar, dando lugar a la idea de métricas. ³⁵​ Por ejemplo, la métrica euclidiana mide la distancia entre puntos en el plano euclidiano, mientras que la métrica hiperbólica mide la distancia en el plano hiperbólico. Otros ejemplos importantes de métricas incluyen la métrica de Lorentz de la relatividad especial y la métrica semirriemanniana de la relatividad general. ³⁶​

En otra dirección, los conceptos de longitud, área y volumen se amplían con la teoría de la medida, que estudia métodos de asignación de un tamaño o medida a conjuntos, donde las medidas siguen reglas similares a las del área y volumen clásicos. ³⁷